[Cheng의 전자기학] 전위와 매질 내에서의 전기장

 

 

 

 

 

전위

 

이전에 설명된 자유공간에서 정전기장의 기본 가정과 영 항등식 $(nullidentity)$을 이용하면, 벡터장이 curl-free인 경우 다음처럼 정의할 수 있다.

 

$$\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }V)\equiv 0$$

$$\mathbf{\text{E}}=-\mathrm{\nabla }V$$

 

위의 수식은 벡터로 표현된 전기장 세기가 스칼라 전위 V로 정의한 것이다. 다음 수식을 정의한 이유는 보통 벡터보다 스칼라함수가 다루기도 쉽고 벡터 E를 유도하기도 수월하기 때문이다. 전위는 전기장이 형성되어 있는 공간에서 단위전하를 한 지점에서 다른 지점으로 이동시킬 때 소요되는 에너지를 의미한다.

 

$$\frac{W}{q}=-{\int }_{P_1}^{P_2}\mathbf{\text{E}}\cdot d\mathbf{\text{l}}(J/CorC)$$

 

음의 기호를 사용한 이유는 전기장 세기 E의 방향을 거슬러 이동할 때 전위가 증가하기 때문이다. 앞에서 보여준 전기장의 비회전성을 생각해보면, 다음 적분식은 이동경로와 무관하게 계산할 수 있다.

 

예시로, 경로 1을 따라 전하를 이동시키고 경로 2로 전하를 이동시킬 때 에너지의 이득 또는 에너지가 남는다면, 에너지 보존의 법칙에 배치된다.

 

따라서 이 적분식의 의미는 단위전하가 각각 $P_1$과 $P_2$에 있을 때의 전위에너지 차이를 나타내고 역학에서의 위치에너지와 비슷한 개념이다. 단위전하가 갖고 있는 에너지를 V 전위라고 한다.

 

$$V_2-V_1=-{\int }_{P_1}^{P_2}\mathbf{\text{E}}\cdot d\mathbf{\text{l}}(V)$$

 

영 항등식으로 얻은 수식과 적분식을 이용하여 수식을 전개해보면 다음과 같고

 

$$-{\int }_{P_1}^{P_2}\mathbf{\text{E}}\cdot d\mathbf{\text{l}}={\int }_{P_1}^{P_2}(\mathrm{\nabla }V)\cdot ({\mathbf{\text{a}}}_{l}dl)={\int }_{P_1}^{P_2}dV=V_2-V_1$$

 

두 지점 사이의 전위차를 의미한다. 전위는 절대값을 정의하는 방법이 없고 서로 비교 가능한 기준값을 정하여 상대값을 찾는다. 보통은 기준값이 되는 기준 전위점을 무한 거리로 설정하고, 그렇지 않으면 전위가 0이 되는 기준을 정해야 한다.

 

 

전하가 주어진 영역에 연속적으로 분포되어 있는 경우, 전하가 존재하는 전체 영역에 대해 적분하여 전위를 구할 수 있다.

 

$$V=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}{\int }_{V^{\prime }}\frac{\rho }{R}d{v}^{\prime }(V)$$

$$V=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}{\int }_{S^{\prime }}\frac{{\rho }_s}{R}d{s}^{\prime }(V)$$

$$V=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}{\int }_{L^{\prime }}\frac{{\rho }_l}{R}d{l}^{\prime }(V)$$

 

 

정전기장 내의 도체

 

도체는 최외각의 전자가 약한 힘으로 고정되어 있어 다른 원자로 쉽게 이동하는 구조를 갖는다. 보통은 금속이 이에 해당한다. 만약 도체 내부에 전하가 존재한다면, 도체에 전기장이 형성되고 전하는 도체 표면으로 밀리게 되어 결과적으로 도체 내부의 전하와 전기장은 존재하지 않는다.

 

다음 설명을 가우스의 법칙으로 이해해보면, 도체 내부에는 전하가 존재하지 않기 때문에 $\rho =0$ 이고 이에 따라 도체 내부의 폐곡면을 통과하는 전기장도 존재하지 않는다.

 

도체 표면에서의 전하 분포는 정전기장 환경인 경우, 전기장 E가 도체 표면 수직으로만 존재하기 때문에 항상 등전위면으로 생각한다.

 

도체와 자유공간 간 경계에서는 다음과 같이 전기장 세기를 생각할 수 있다.

 

$${\oint }_{abcda}\mathbf{\text{E}}\cdot d\mathbf{\text{l}}=E_t\mathrm{\Delta }w=0$$

 

abcda는 경계면에 임의로 만든 미소 경로로 폐곡선이다. 직사각형 abcd라고 가정하고 $bc=da=\mathrm{\Delta }h$, $ab=cd=\mathrm{\Delta }w$  라고 생각할 때 $\mathrm{\Delta }h=0$ 에 근접한다면 위에 언급된 수식으로 생각할 수 있고 $E_t=0$ 임을 알 수 있다. $E_t$는 전기장의 접선 성분이다.

 

전기장의 수직 성분을 알기 위해 경계면에 미소 길이를 가진 박스를 놓으면 박스의 윗면만 생각하면 된다. 그 이유는 앞에 보인 것처럼 $\mathrm{\Delta }h=0$ 으로 생각하여 굉장히 얇은 박스이고 아랫면이 도체와 닿는 부분이라고 하면 전기장 세기는 존재하지 않기 때문이다.

 

$${\oint }_S\mathbf{\text{E}}\cdot d\mathbf{\text{s}}=E_n\mathrm{\Delta }S=\frac{{\rho }_s\mathrm{\Delta }S}{{ϵ}_0}$$

 

 

정전기장에서의 유전체

 

유전체는 도체와는 다르게 전자들이 각 궤도에 고정되어 외부 전기장에도 다른 원자로 전자가 이동하지 않는다. 그러나 유전체 내부의 양전하와 음전하가 서로 반대 방향으로 틀어지는 분극 현상이 발생한다. 분극 현상에 의해 서로 다른 부호를 가진 전하가 일정한 거리를 둔 전기 쌍극자가 생성된다.

 

유전체에 따라 외부 전기장이 없어도 영구적 쌍극자 모멘트를 가지는 경우도 있는데 이를 분극 분자라고 한다. 예를 들어, 물분자 $H_{2}O$는 수소 원자와 산소 원자가 정확히 대칭점에 위치 하지 않아 쌍극자 모멘트가 0이 아니다. 반대로, 무극 분자도 존재하는데, 무극 분자는 영구적인 전기 쌍극자를 갖지 않는 분자들이다. 예를 들어, $C{O}_2$나 $C{H}_4$ 가 있다.

 

$${\rho }_{ps}=\mathbf{\text{P}}\cdot {\mathbf{\text{a}}}_n$$

$${\rho }_p=-\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{\text{P}}$$

 

위 식들은 분극전하밀도로, 분극된 유전체는 위 식들처럼 분극전하밀도로 대체되어 쓰일 수 있다.

 

$$V=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}{\oint }_{S^{\prime }}\frac{{\rho }_{ps}}{R}d{s}^{\prime }+\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}{\int }_{V^{\prime }}\frac{{\rho }_p}{R}d{v}^{\prime }$$

 

물리적으로 생각해보면, 쌍극자의 양 끝 전하들은 전기장 방향과 평행하게 배열되어 있다. 유전체 내 가상의 면 $\mathrm{\Delta }s$ 가 있다면, 면의 수직 방향으로 가해지는 외부 자기장에 의해 서로 다른 전하가 중심으로부터 d/2 만큼 벌어지면서 분극 현상이 발생한다. 여기서 가상의 면을 통과하는 총 전하 $\mathrm{\Delta }Q$ 는 $nqd(\mathrm{\Delta }s)$ 와 같고 여기서 n은 단위부피 당 분자의 개수다.외부 자기장 방향이 가상의 면에 수직이 아니라면 d 를 $\mathbf{\text{d}}\cdot {\mathbf{\text{a}}}_n$ 로 생각한다. 

 

$$\mathrm{\Delta }Q=nq(\mathbf{\text{d}}\cdot {\mathbf{\text{a}}}_n)(\mathrm{\Delta }s)=\mathbf{\text{P}}\cdot {\mathbf{\text{a}}}_n(\mathrm{\Delta }s)$$

 

여기서 nqd는 단위부피당 쌍극자 모멘트이고 분극 벡터 P로 쓴다.

 

$${\rho }_{ps}=\frac{\mathrm{\Delta }Q}{\mathrm{\Delta }s}=\mathbf{\text{P}}\cdot {\mathbf{\text{a}}}_n$$

 

위 수식을 가우스의 법칙과 발산 정리를 이용하여 유도하면 부피전하밀도를 구하는 식으로 표현할 수 있다.

 

$$Q=-{\oint }_S\mathbf{\text{P}}\cdot {\mathbf{\text{a}}}_{n}ds={\int }_V(-\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{\text{P}})dv={\int }_V{\rho }_{p}dv$$

 

 

출처-David K. Cheng.Field and Wave Electromagnetics