[Cheng의 전자기학] 벡터 대수

 

스칼라 $(scalar)$란 단위를 포함한 양 또는 음의 크기를 갖는다. 전하, 전류, 에너지 등이 모두 스칼라에 해당한다. 벡터 $(vector)$란 크기와 방향이 존재한다. 전기장이나 자기장의 세기 등이 벡터에 해당한다. 이러한 벡터를 해석하기 위해서는 벡터를 계산해야 하고, 상황에 맞는 좌표계를 설정해야 한다. 벡터의 덧셈과 뺄셈, 벡터의 곱, 좌표계, 벡터 미적분으로 구분한다. 먼저 벡터의 크기와 방향은 다음과 같이 표현한다. $$\mathbf{\text{A}}={\mathbf{\text{a}}}_{A}A$$

여기서 진하게 표시된 부분 $\mathbf{\text{A}}$은 벡터를 의미한다. A는 벡터 $\mathbf{\text{A}}$의 크기를 의미하고,$$A=|\mathbf{\text{A}}|$$

다음처럼 표시가 가능하다. ${\mathbf{\text{a}}}_A$는 단위벡터로, $\mathbf{\text{A}}$의 방향을 나타내며 크기는 1이다.

$${\mathbf{\text{a}}}_A=\frac{\mathbf{\text{A}}}{|\mathbf{\text{A}}|}=\frac{\mathbf{\text{A}}}{A}$$

다음 표현을 이용하여 벡터를 나타낼 수 있다.

 

 

• 벡터의 덧셈과 뺄셈

벡터의 덧셈은 다음과 같이 두 가지 경우로 계산할 수 있는데, 평행사변형 규칙과 촉-꼬리 규칙이 있다.

두 벡터 A와 B

평행사변형 규칙

촉-꼬리 규칙

 

 

다음 그림은 A+B=C를 두 가지 방식으로 표현하였다. 평행사변형 규칙은 A와 B에 의해 만들어진 평행사변형의 대각선 벡터가 합성된 C이다. 촉-꼬리 규칙은 B의 꼬리에 A의 촉을 연결한 후 A의 꼬리부터 B의 촉까지 그려진 벡터가 합성된 C이다. 벡터의 덧셈은 또한 교환법칙과 결합 법칙을 따른다.

 

교환법칙 : A + B = B + A

                   결합 법칙 : A + (B + C) = (A + B) + C

 

벡터의 뺄셈은 다음과 같이 표현한다.

벡터의 뺄셈

A - B = A + (-B)

 

 

• 벡터의 곱셈

벡터는 스칼라를 곱하여 곱해진 스칼라 값만큼 값이 변하게 되고 방향은 변하지 않는다. $$k\mathbf{\text{A}}={\mathbf{\text{a}}}_A(kA)$$

그러나 두 벡터를 곱하는 경우는 다음 수식처럼 나타낼 수 없다. 이때 벡터의 곱은 내적 또는 외적으로 구분한다.

 

$\mathbf{\text{A}}\cdot \mathbf{\text{B}}\stackrel{\underset{△}{}}{=}AB\cos {\theta }_{AB}$,  ${\theta }_{AB}<\pi$

A와 B 내적

 

내적은 교환법칙과 분배법칙이 성립한다.

 

교환법칙 : A $\cdot$ B = B $\cdot$ A

분배 법칙 : A $\cdot$ (B + C) = A $\cdot$ B + A $\cdot$ C

 

그러나 결합법칙은 내적에 적용되지 않는다. 그 이유는 세 개 이상의 벡터를 내적으로 곱하는 수식은 존재하지 않기 때문이다. $\mathbf{\text{A}}\cdot \mathbf{\text{B}}\cdot \mathbf{\text{C}}$는 벡터와 스칼라의 내적이 되므로 의미 없는 표현이다.

 

외적은 $\mathbf{\text{A}}\times \mathbf{\text{B}}$로 표현하며 벡터 A와 B를 포함하는 평면에 수직인 벡터이다. $$\mathbf{\text{A}}\times \mathbf{\text{B}}\stackrel{\underset{△}{}}{=}{\mathbf{\text{a}}}_n|AB\sin {\theta }_{AB}|$$ ${\theta }_{AB}$는 A와 B의 사잇각이고 ${\mathbf{\text{a}}}_n$은 오른손 손가락들이 A에서 B 방향으로 각도 ${\theta }_{AB}$를 따라 회전할 때 엄지손가락이 가르키는 방향으로 단위 벡터이다. 이를 오른손 법칙이라고 한다.

A와 B 외적

그림과 같이 외적의 크기는 항상 양이며, A와 B에 의해 만들어지는 평행사변형의 넓이와 같다. 외적의 방향은 평행사변형의 높이에 해당한다.

 

외적은 교환법칙, 결합법칙이 성립하지 않는다. 또한 외적의 삼중곱을 나타내는 경우, 괄호의 위치에 따라 괄호 안에 나타나는 벡터의 수직 방향이 달라지므로 괄호를 생략하지 않고 넣어야 한다. $$\mathbf{\text{A}}\times (\mathbf{\text{B}}\times \mathbf{\text{C}})\ne (\mathbf{\text{A}}\times \mathbf{\text{B}})\times \mathbf{\text{C}}$$

 

세 벡터의 곱은 두 가지로 나뉜다. 하나는 스칼라 삼중곱, 다른 하나는 벡터 삼중곱이다. 스칼라 삼중곱은 다음과 같이 표현한다.

$$\mathbf{\text{A}}\cdot (\mathbf{\text{B}}\times \mathbf{\text{C}})=\mathbf{\text{B}}\cdot (\mathbf{\text{C}}\times \mathbf{\text{A}})=\mathbf{\text{C}}\cdot (\mathbf{\text{A}}\times \mathbf{\text{B}})$$

다음 세 가지 표현식들은 벡터 A, B, C로 이루어지는 평행육면체의 부피와 크기가 같다. 예시로 $\mathbf{\text{A}}\cdot (\mathbf{\text{B}}\times \mathbf{\text{C}})$ 수식을 생각해보면, B와 C의 외적은 평행사변형의 넓이가 된다. 높이는 벡터 A와  ${\theta }_2$에 의해 결정된다. 따라서 부피는 $|ABCsin{\theta }_{1}cos{\theta }_2|$로 나타낼 수 있다.

스칼라 삼중곱

 

벡터 삼중곱 $\mathbf{\text{A}}\times (\mathbf{\text{B}}\times \mathbf{\text{C}})$로 나타내고, "back-cab" rule로 계산을 단순화 할 수 있다.

$$\mathbf{\text{A}}\times (\mathbf{\text{B}}\times \mathbf{\text{C}})=\mathbf{\text{B}}(\mathbf{\text{A}}\cdot \mathbf{\text{C}})-\mathbf{\text{C}}(\mathbf{\text{A}}\cdot \mathbf{\text{B}})$$

여기서 우변의 수식이 "BAC-CAB" 형태이다.

 

back-cab rule을 증명하는 법은 다음과 같다.

$$\mathbf{\text{D}}=\mathbf{\text{A}}\times (\mathbf{\text{B}}\times \mathbf{\text{C}})$$

다음 수식에서 A를  $\mathbf{\text{A}}={\mathbf{\text{A}}}_{\parallel }+{\text{A}}_{\perp }$ 다음처럼 B와 C를 포함하는 평면에 평행인 성분과 수직인 성분으로 분리할 수 있다. 여기서 ${\mathbf{\text{A}}}_{\perp }\times (\mathbf{\text{B}}\times \mathbf{\text{C}})$ 는 0이 된다. 따라서 $\mathbf{\text{D}}={\mathbf{\text{A}}}_{\parallel }\times (\mathbf{\text{B}}\times \mathbf{\text{C}})$ 이 된다.

back-cab rule

 

다음 그림은 화면이 ${\mathbf{\text{A}}}_{\parallel },\mathbf{\text{B}},\mathbf{\text{C}}$를 포함하는 평면이고, 화면을 뚫고 들어가는 방향이 $\mathbf{\text{B}}\times \mathbf{\text{C}}$ 또는 ${\mathbf{\text{A}}}_{\perp }$이다. $\mathbf{\text{D}}$는 다음 평면에 포함되어 있고 ${\mathbf{\text{A}}}_{\parallel }$과 수직이다.$(\mathbf{\text{B}}\times \mathbf{\text{C}})$ 의 크기는 $BCsin({\theta }_1-{\theta }_2)$이고, $A_{\parallel }\times (\mathbf{\text{B}}\times \mathbf{\text{C}})$ 의 크기는 $A_{\parallel }BCsin({\theta }_1-{\theta }_2)$ 이다.

 

$$D=\mathbf{\text{D}}\cdot {\mathbf{\text{a}}}_D=A_{\parallel }BCsin({\theta }_1-{\theta }_2)=(Bsin{\theta }_1)(A_{\parallel }Ccos{\theta }_2)-(Csin{\theta }_2)(A_{\parallel }Bcos{\theta }_1)$$ $$=[\mathbf{\text{B}}({\mathbf{\text{A}}}_{\parallel }\cdot \mathbf{\text{C}})-\mathbf{\text{C}}({\mathbf{\text{A}}}_{\parallel }\cdot \mathbf{\text{B}})]\cdot {\mathbf{\text{a}}}_D$$

다음 표현식에서 대괄호 안이 D를 의미하지는 않는다. 그 이유는 D의 수직 벡터인 ${\mathbf{\text{A}}}_{\parallel }$를 포함할 수 있기 때문이다. 즉 $\mathbf{\text{D}}\cdot {\mathbf{\text{a}}}_D=\mathbf{\text{E}}\cdot {\mathbf{\text{a}}}_D$가 $\mathbf{\text{E}}=\mathbf{\text{D}}$임은 알 수 없다. 따라서 일반적으로 $\mathbf{\text{B}}({\mathbf{\text{A}}}_{\parallel }\cdot \mathbf{\text{C}})-\mathbf{\text{C}}({\mathbf{\text{A}}}_{\parallel }\cdot \mathbf{\text{B}})=\mathbf{\text{D}}+k{\mathbf{\text{A}}}_{\parallel }$ 로 표현한다. k는 스칼라값이다.양변에 ${\mathbf{\text{A}}}_{\parallel }$을 내적하면 좌변이 0이 되고 우변의 ${\mathbf{\text{A}}}_{\parallel }\cdot \mathbf{\text{D}}=0$ 이므로 $k=0$ 이다.

$$\mathbf{\text{D}}=\mathbf{\text{B}}({\mathbf{\text{A}}}_{\parallel }\times \mathbf{\text{C}})-\mathbf{\text{C}}({\mathbf{\text{A}}}_{\parallel }\times \mathbf{\text{B}})$$

$${\mathbf{\text{A}}}_{\parallel }\times \mathbf{\text{C}}=\mathbf{\text{A}}\times \mathbf{\text{C}},{\mathbf{\text{A}}}_{\parallel }\times \mathbf{\text{B}}=\mathbf{\text{A}}\times \mathbf{\text{B}}$$ 이므로 back-cab 규칙을 증명할 수 있다.

 

 

 

 

출처-David K. Cheng.Field and Wave Electromagnetics