[Cheng의 전자기학] 벡터장 정리

 

 

 

 

 

 

 1. 발산 정리 $(Divergence$ $theorem)$

 

벡터장의 발산은 단위부피당 흘러나가는 순 선속으로 정의한다. 벡터장에 대한 발산의 부피적분은 그 부피의 경계면을 통과하여 흘러나간 벡터의 총 선속과 같음을 알 수 있다. 이를 발산 정리로 정리하면 다음과 같다.

 

$${\int }_V\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{\text{A}}dv={\oint }_S\mathbf{\text{A}}\cdot d\mathbf{\text{s}}$$

 

V는 표면적 S에 둘러싸인 부피이고 d$\mathbf{\text{s}}$는 방향이 있으며, 항상 바깥에 수직인 방향이고 부피로부터 나가는 방향이다. 표면 $s_i$로 둘러싸인 미소 부피 $\mathrm{\Delta }{v}_i$라고 하면 다음처럼 벡터장의 발산을 이용하여 수식을 전개할 수 있다.

 

$$(\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{\text{A}}{)}_i\mathrm{\Delta }{v}_i={\oint }_{s_i}\mathbf{\text{A}}\cdot d\mathbf{\text{s}}$$

 

부피 V를 미소 부피 N개로 분할하였다고 생각하면 앞의 식을 다음과 같이 정리할 수 있다.

 

$$\underset{\mathrm{\Delta }{v}_i\to 0}{lim}[\sum _{i=1}^N(\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{\text{A}}{)}_i\mathrm{\Delta }{v}_i]=\underset{\mathrm{\Delta }{v}_i\to 0}{lim}[\sum _{i=1}^N{\oint }_{s_i}\mathbf{\text{A}}\cdot d\mathbf{\text{s}}]$$

 

여기서 좌변은 $\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{\text{A}}$를 부피 적분으로 표현할 수 있다.

 

$$\underset{\mathrm{\Delta }{v}_i\to 0}{lim}[\sum _{i=1}^N(\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{\text{A}}{)}_i\mathrm{\Delta }{v}_i]={\int }_V(\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{\text{A}})dv$$

 

사진과 같이 내부의 인접한 면들의 벡터들은 서로 방향이 반대이기 때문에 상쇄된다. 따라서 부피 V를 둘러싼 외부면적 S에 의한 것만 남는다.

 

$$\underset{\mathrm{\Delta }{v}_i\to 0}{lim}[\sum _{i=1}^N{\int }_{s_i}\mathbf{\text{A}}\cdot d\mathbf{\text{s}}]={\oint }_S\mathbf{\text{A}}\cdot d\mathbf{\text{s}}$$

 

앞선 두 수식을 이용하면 발산 정리를 얻을 수 있다.

 

발산 정리

 

 

 

 2. 스토크스 $(Stokes)$ 정리

 

벡터장의 회전 정의에 의해 다음 수식을 얻을 수 있다.

 

$$(\mathrm{\nabla }\times \mathbf{\text{A}}{)}_i\cdot (\mathrm{\Delta }{\mathbf{\text{s}}}_i)={\oint }_{C_i}\mathbf{\text{A}}\cdot d\mathbf{\text{l}}$$

 

$\mathrm{\Delta }{\mathbf{\text{s}}}_i$는 경로 $C_i$로 둘러싸진 미소 면적 벡터이다. 임의의 면적 S를 N개의 미소 면적으로 잘게 나눴다면 다음 수식으로 나타낼 수 있다.

 

$$\underset{\mathrm{\Delta }{s}_i\to 0}{lim}\sum _{i=1}^N(\mathrm{\nabla }\times \mathbf{\text{A}}{)}_i\cdot (\mathrm{\Delta }{\mathbf{\text{s}}}_i)={\int }_S(\mathrm{\nabla }\times \mathbf{\text{A}})\cdot d\mathbf{\text{s}}$$

 

여기서 서로 인접한 경로는 반대 방향으로 지나가기 때문에 상쇄된다. 따라서 전체 면적 S를 둘러싼 가장 바깥 경로 C만 남게 되고 나머지는 0이 된다.

 

$$\underset{\mathrm{\Delta }{s}_i\to 0}{lim}\sum _{i=1}^N({\oint }_{C_i}{\mathbf{\text{A}}}_i\cdot d\mathbf{\text{l}})={\oint }_C\mathbf{\text{A}}\cdot d\mathbf{\text{l}}$$

 

따라서 스토크스 정리를 다음과 같이 얻을 수 있다. 이 수식은 개방면의 벡터장 회전의 면적분은 그 면을 둘러싸고 있는 폐곡선 벡터의 선적분과 같다는 의미이다.

 

$${\int }_S(\mathrm{\nabla }\times \mathbf{\text{A}})\cdot d\mathbf{\text{s}}={\oint }_C\mathbf{\text{A}}\cdot d\mathbf{\text{l}}$$

 

스토크스 정리

 

만약 임의의 폐곡면에 대해서 스토크스 정리를 이용하면 면을 둘러싸고 있는 테두리가 없기 때문에 다음 수식처럼 설명할 수 있다. 따라서 스토크스 정리를 응용하기 위해서는 테두리가 있는 개방면을 사용하는 것이 좋다.

 

$${\oint }_S(\mathrm{\nabla }\times \mathbf{\text{A}})\cdot d\mathbf{\text{s}}=0$$

 

 

 

 3. 두 개의 영 항등식 $(Two$ $Null$ $Identities$)

 

 a. $\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }V)\equiv 0$, 모든 스칼라장에 대한 변화율의 회전은 항상 0이다.

 

$\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }V)$ 을 면적분을 하게 된다면 스토크스 정리를 사용할 수 있다. 결과적으로 면을 둘러싸고 있는 폐곡선을 따라 $\mathrm{\nabla }V$를 선적분한 것과 같다.

 

$${\oint }_C(\mathrm{\nabla }V)\cdot d\mathbf{\text{l}}={\oint }_{C}dV=0$$

 

만약 벡터장의 회전이 0이 라면 $(curl-free$), 그 벡터장은 그레디언트로 표현할 수 있다.

 

$\mathbf{\text{E}}=-\mathrm{\nabla }V$,  $if$  $\mathrm{\nabla }\times \mathbf{\text{E}}=0$

 

 

 b. $\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\times \mathbf{\text{A}})\equiv 0$, 모든 벡터장의 회전의 발산은 항상 0이다.

 

$\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\times \mathbf{\text{A}})\equiv 0$ 을 부피적분을 하게 된다면 발산 정리를 적용할 수 있다.

 

$${\int }_V\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\times \mathbf{\text{A}})dv={\oint }_S(\mathrm{\nabla }\times \mathbf{\text{A}})\cdot d\mathbf{\text{s}}$$

 

이때 폐곡면 S를 두 개로 나누어 개방면 $S_1$ 과 $S_2$ 로 나눌 수 있고 이를 스토크스 정리를 적용해본다.

 

$${\oint }_S(\mathrm{\nabla }\times \mathbf{\text{A}})\cdot d\mathbf{\text{s}}={\int }_{S_1}(\mathrm{\nabla }\times \mathbf{\text{A}})\cdot {\mathbf{\text{a}}}_{n1}ds+{\int }_{S_2}(\mathrm{\nabla }\times \mathbf{\text{A}})\cdot {\mathbf{\text{a}}}_{n2}ds={\oint }_{C_1}\mathbf{\text{A}}\cdot d\mathbf{\text{l}}+{\oint }_{C_2}\mathbf{\text{A}}\cdot d\mathbf{\text{l}}$$

 

${\mathbf{\text{a}}}_{n1}$과 ${\mathbf{\text{a}}}_{n2}$는 면 $S_1$ 과 $S_2$ 바깥으로 향하는 수직 벡터이다. 경로  $C_1$ 과 $C_2$는 오른손 법칙을 따르고 똑같은 경계선이다. 따라서 두 선적분은 방향이 반대이고 같은 테두리이다. 따라서 앞선 수식은 결국 0이다.

 

만약 벡터장의 발산이 0이라면, 그 벡터장은 또 다른 벡터장의 회전으로 표현 가능하다.

 

$\mathbf{\text{B}}=\mathrm{\nabla }\times \mathbf{\text{A}}$,  $if$  $\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{\text{B}}=0$

 

 

 

4. 헬름홀츠$(Helmholtz)$ 정리

 

일반적인 벡터장은 두 가지 성분으로 분해할 수 있는데, 각각 벡터의 발산과 벡터의 회전이다. 일반적인 벡터장 $\mathbf{\text{F}}$를 비회전 성분 ${\mathbf{\text{F}}}_i$와 솔레노이드성 부분 ${\mathbf{\text{F}}}_s$로 분해하면 다음처럼 표현할 수 있다.

 

$$\mathbf{\text{F}}={\mathbf{\text{F}}}_i+{\mathbf{\text{F}}}_s$$

 

여기서 비회전성 성분 $F_i$는 curl-free이고 솔레노이드성은 $\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{\text{F}}=0$이다.

 

$$\{\begin{array}{c}\mathrm{\nabla }\times {\mathbf{\text{F}}}_i=0\\ \mathrm{\nabla }\cdot {\mathbf{\text{F}}}_i=g\end{array}$$

 

$$\{\begin{array}{c}\mathrm{\nabla }\times {\mathbf{\text{F}}}_s=\mathbf{\text{G}}\\ \mathrm{\nabla }\cdot {\mathbf{\text{F}}}_s=0\end{array}$$

 

g와 G는 알고 있다고 가정한다면 $\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{\text{F}}=\mathrm{\nabla }\cdot {\mathbf{\text{F}}}_i=g$,   $\mathrm{\nabla }\times \mathbf{\text{F}}=\mathrm{\nabla }\times {\mathbf{\text{F}}}_s=\mathbf{\text{G}}$ 로 표현할 수 있다. 앞서 설명한 두 개의 항등식을 고려해본다면 헬름홀츠 정리를 나타낼 수 있다.

 

$${\mathbf{\text{F}}}_i=-\mathrm{\nabla }V$$ 

$${\mathbf{\text{F}}}_s=\mathrm{\nabla }\times \mathbf{\text{A}}$$

 

$$\mathbf{\text{F}}=-\mathrm{\nabla }V+\mathrm{\nabla }\times \mathbf{\text{A}}$$

 

헬름홀츠 정리는 벡터장 F를 그레디언트와 회전의 합으로 표현할 수 있음을 보여주고 있다.

 

 

출처-David K. Cheng.Field and Wave Electromagnetics