[Cheng의 전자기학] 정전기장의 경계 조건과 정전용량

 

 

전속 밀도

 

분극 유전체는 등가 부피전하밀도 ${\rho }_p$ 를 갖기 때문에 정전기장의 기본 가정을 다음과 같이 쓸 수 있다.

 

$$\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{\text{E}}=\frac{1}{{ϵ}_0}(\rho +{\rho }_p)$$

 

그리고 $rh{o}_p=-\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{\text{P}}$ 를 이용하여 수식을 정리할 수 있다.

 

$$\mathrm{\nabla }\cdot ({ϵ}_0\mathbf{\text{E}}+\mathbf{\text{P}})=\rho$$

 

위 식으로 전속밀도 D를 정의할 수 있다.

 

$$\mathbf{\text{D}}={ϵ}_0\mathbf{\text{E}}+\mathbf{\text{P}}(C/m^2)$$

 

D는 분극벡터 P나 분극전하밀도 ${\rho }_p$ 대신 자유전하들의 분포로만 매질에서의 전기장을 표현할 수 있다.

 

$$\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{\text{D}}=\rho (C/m^3)$$

 

양변을 부피적분을 하면 가우스의 법칙으로 계산할 수 있다.

 

$${\int }_V\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{\text{D}}dv={\int }_V\rho dv={\oint }_S\mathbf{\text{D}}\cdot d\mathbf{\text{s}}=Q(C)$$

 

유전체의 물질적 특성이 선형이고 등방성이면, 외부 전기장 세기에 비례하여 분극이 발생한다.

 

$$\mathbf{\text{P}}={ϵ}_0{\chi }_e\mathbf{\text{E}}$$

 

${\chi }_e$ 는 전기 감수율로 유전체가 전기장에 의해 얼마나 전기적인 반응을 하는지 나타내는 수치다.

 

$$\mathbf{\text{D}}={ϵ}_0(1+{\chi }_e)\mathbf{\text{E}}\to {ϵ}_0{ϵ}_r\mathbf{\text{E}}=ϵ\mathbf{\text{E}}(C/m^2)$$

 

위 식은 D를 E와 P로 표현한 수식에서 유도할 수 있다. ${ϵ}_r$ 은 상대 유전율로 매질에 따라 다르다.

 

 

정전기장의 경계 조건

 

전자기학에서의 경계 조건은 다른 특징을 가지는 매질 사이 경계에 의해 발생하는 특징을 설명하기 위해 필요하다. 정전기장에서는, 전기장 세기 E와 전속밀도 D가 서로 다른 매질 사이를 투과할 때 나타나는 변화를 알아야 한다.

 

두 매질의 경계면에 다음처럼 미소 직사각형을 만들고, 이 직사각형 둘레에 대한 E의 선적분을 한다. 이때 $\mathrm{\Delta }h=0$ 으로 수렴하도록 하여 옆면을 무시한다.

 

$${\oint }_{abcda}\mathbf{\text{E}}\cdot d\mathbf{\text{l}}=E_{1t}\mathrm{\Delta }w-E_{2t}\mathrm{\Delta }w=0$$

 

따라서 매질의 경계에서 E의 접선 성분이 같기 때문에 연속임을 의미한다. 만약 두 매질 중 하나가 도체이면 $E_t=0$ 을 만족한다. 정리하면, 전기장 세기의 접선 성분과 전속밀도의 접선 성분은 다음과 같다.

 

$$E_{1t}=E_{2t}\frac{D_{1t}}{{ϵ}_1}=\frac{D_{2t}}{{ϵ}_2}(V/m)$$

 

두 매질 사이 경계면

 

두 경계면의 수직 성분을 알기 위해, 두 매질에 각각 밑면의 넓이가 $\mathrm{\Delta }S$이고 높이가 $\mathrm{\Delta }h$인 상자를 놓고 높이를 0에 가깝다고 가정한다.그 후 가우스의 법칙을 적용한다.

 

$${\oint }_S\mathbf{\text{D}}\cdot d\mathbf{\text{s}}={\mathbf{\text{a}}}_{n2}\cdot ({\mathbf{\text{D}}}_1-{\mathbf{\text{D}}}_2)\mathrm{\Delta }S={\rho }_s\mathrm{\Delta }S$$

 

$${\mathbf{\text{a}}}_{n2}\cdot ({\mathbf{\text{D}}}_1-{\mathbf{\text{D}}}_2)={\rho }_s\to D_{1n}-D_{2n}={\rho }_s(C/m^2)$$

 

위 수식으로, 매질 사이의 경계면에 면전하가 존재하면, D의 법선 벡터는 불연속이고 그 불연속 편차는 면전하밀도와 같다는 것을 알 수 있다.

 

두 매질 사이 경계면

 

 

정전용량과 커패시터

 

정전기장에 놓인 도체는 등전위체이며, 도체 표면에만 전하가 균일하게 존재하지만 도체 내부에는 전기장이 존재하지 않는다. 전하 Q에 의해 등전위 V가 유지된다고 가정하면, 전하량이 증가한 비율만큼 면전하도 같은 비율로 전체 표면에 고르게 증가한다. 전위 V도 마찬가지로, 전하량 증가율만큼 증가한다. 총 전하 Q와 전위 V는 일정하게 유지된다.

 

$$Q=CV(C/V(coulomb/volt),(F)$$

 

C는 비례상수로, 정전용량이다.

 

두 도체가 분리되어 있을 때 두 도체 사이에 +Q와 -Q 전하가 축적된 형태를 커패시터라 하고, 두 도체 간의 전위차를 이용하여 정전용량을 구할 수 있다.

 

$$C=\frac{Q}{V_{12}}$$

 

$V_{12}$는 두 도체 간의 전위차이다.

 

커패시터는 회로에서 많이 사용이 되고 직렬과 병렬 형태가 기본이다. 직렬인 경우, 커패시터의 머리와 꼬리가 서로 붙어있듯이 형성되어 있기 때문에 +Q와 -Q가 번갈아가며 유도된다. 첫번째 커패시터와 n번째 커패시터 사이 전위는 V이다.

 

$$V=\frac{Q}{C_{series}}=\frac{Q}{C_1}+\frac{Q}{C_2}+\frac{Q}{C_3}+\cdots +\frac{Q}{C_n}$$

 

$$\frac{1}{C_{series}}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}+\cdots \frac{1}{C_n}$$

 

병렬인 경우, 각각의 커패시터의 양단에 동시에 전위 V가 인가되고 각 커패시터의 정전용량에 의해 전하량이 결정된다.

 

$$Q=Q_1+Q_2+Q_3+\cdots Q_n=C_{1}V+C_{2}V+C_{3}V+\cdots +C_{n}V=C_{\parallel }V$$

 

$$C_{\parallel }=C_1+C_2+C_3+\cdots C_n$$

 

 

출처-David K. Cheng.Field and Wave Electromagnetics